Question

（2013•大连一模）设离心率e=

1

2

的椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+

3

y+3=0相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求

QA

•

QC

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设以|PF₁|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，则|NF₁|=a，由e=

1

2

可得a=2c，由此可得∠NF1P=

π

3

，再由|PF₁|的长可判断F₂为圆的圆心，根据圆与直线x+

3

y+3=0相切，可解得c值，从而可求得a，b；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），易知点B（x₁，-y₁），设直线PA的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由△＞0得k²范围，由点斜式写出直线BC的方程，令y=0，由韦达定理可得Q点横坐标，利用向量数量积运算及韦达定理可把

QA

•

QC

表示为k的函数，由k²的范围即可求得

QA

•

QC

的范围；

解答：解：（Ⅰ）设以|PF₁|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∵e=

1

2

，∴a=2c，
∴∠NF1P=

π

3

，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+

3

y+3=0相切，
∴2c=

|c+3|

1+( 3 )2

，解得c=1，a=2，b=

3

，
∴椭圆M的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-3).

，消掉y，化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0，得0＜k2＜

3

5

．
则x1+x2=

24k2

4k2+3

，x1x2=

36k2-12

4k2+3

．
直线BC的方程为：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，则x=

y1x2+y2x1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=

72k2-24 4k2+3 - 72k2 4k2+3

24k2 4k2+3 -6

=

4

3

．
∴Q点坐标为(

4

3

，0)．

QA

•

QC

=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+y1y2=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+k2(x1-3)(x2-3)
=(1+k2)x1x2-(3k2+

4

3

)(x1+x2)+9k2+

16

9

=(1+k2)•

36k2-12

4k2+3

-(3k2+

4

3

)•

24k2

4k2+3

+9k2+

16

9

=

19k2-12

4k2+3

+

16

9

=

235

36

-

105

16k2+12

．
∵0＜k2＜

3

5

，
∴

QA

•

QC

∈(-

20

9

，

5

3

)．

点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查函数思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度较大，对能力要求较高．