题目内容
5．设函数f（x）=|ex-e2a|，若f（x）在区间（-1，3-a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．分析 求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．
解答 
解：当x≥2a时，f（x）=|ex-e2a|=ex-e2a，此时为增函数，
当x＜2a时，f（x）=|ex-e2a|=-ex+e2a，此时为减函数，
即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），
由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，
即-1＜2a＜3-a，得-$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=${e}^{{x}_{1}}$$•（-{e}^{{x}_{2}}）$=-${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-1，
则${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1，即x1+x2=0，
∵-1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，
∴2a＜1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
综上-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，利用数形结合以及直线垂直的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
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20．若函数$f（x）={3^{{x^2}-2ax+5}}$在区间（-∞，1]内单调递减，则a的取值范围是（ ）
| A． | [1，+∞） | B． | （1，+∞） | C． | [1，3） | D． | [1，3] |
10．在△ABC中，若3cos（A-B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（ ）
| A． | -$\frac{3}{4}$ | B． | -$\frac{4}{3}$ | C． | -$\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D． | -2$\sqrt{2}$ |
如图，设A，B，C是不共线的三点，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow p，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow q$，若点D在线段BC上，且BC：CD=5：2，则向量$\overrightarrow{AD}$=$\frac{7}{5}\overrightarrow{q}-\frac{2}{5}\overrightarrow{p}$（用向量$\overrightarrow p，\overrightarrow q$表示）．