题目内容
14.已知正项数列{an}满足ann+nan-1=0(n∈N*).(1)求a1,a2;
(2)判断函数f(x)=xn+nx-1,x>0的单调性;
(3)求证:0<an<1.
分析 (1)分别令n=1、n=2代入所给的式子,解相应的方程即可;
(2)求出f(x)的导数,判断符号,即可得到单调性;
(3)由函数f(x)=xn+nx-1,得到an为函数的零点,由函数零点存在的判断方法,得到an所在的区间,即可得证.
解答 解:(1)∵ann+nan-1=0(n∈N*),
令n=1得,a1+a1-1=0,解得a1=$\frac{1}{2}$,
令n=2得,a22+2a2-1=0,解得a2=-1±$\sqrt{2}$,
∵an>0,∴a2=$\sqrt{2}$-1;
(2)f(x)=xn+nx-1(x>0),
导数f′(x)=nxn-1+n>0,
即有函数f(x)在(0,+∞)上递增;
(3)证明:∵ann+nan-1=0,
∴an是方程xn+nx-1=0的一个根,
设f(x)=xn+nx-1,
则f(0)=-1<0,f(1)=n>0,
∴函数f(x)在(0,1)上至少有一个实数根,
∵函数f(x)在(0,+∞)上递增,
则f(x)=0有且仅有一个实数根,
且在(0,1)上,
∴an∈(0,1),即0<an<1.
点评 本题是数列与函数、不等式相结合的综合题,主要考查了函数的零点与方程根的转化问题,考查了分析问题与解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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19.下列关于函数f(x)=(x2-2x)ex的判断正确的是( )
①f(x)<0的解集是{x|0<x<2} ②f(-$\sqrt{2}$)是极小值,f($\sqrt{2}$)是极大值
③f(x)没有最大值 ④f(x)有最大值.
①f(x)<0的解集是{x|0<x<2} ②f(-$\sqrt{2}$)是极小值,f($\sqrt{2}$)是极大值
③f(x)没有最大值 ④f(x)有最大值.
A. | ②④ | B. | ①③ | C. | ①④ | D. | ①②③ |
4.在3双(即6只)皮鞋中任意抽取两只,恰为一双鞋的概率为( )
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{15}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |