Question

【题目】甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50（元/时）．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出定义域；
（2）用单调性定义证明（1）中函数的单调性，并指出汽车应以多大速度行驶可使全程运输成本最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为 小时，

全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系是：y=（50+0.02v2） = +4v，v∈（0，50]

（2）解：令f（v）= +4v，设0＜v1＜v2≤50，

则f（v1）﹣f（v2）= +4v1﹣ ﹣4v2= ，

由0＜v1＜v2≤50，可得v1﹣v2＜0，0＜v1v2＜2500，

∴f（v1）﹣f（v2）＜0，即f（v1）＜f（v2）．

则f（v）在（0，50]上单调递减，f（v）min=f（50），

答：为了使全程运输成本最小，汽车应以50千米/时的速度行驶

【解析】（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为 小时，全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系是：y=（50+0.02v2） ，v∈（0，50]．（2）令f（v）= +4v，利用单调性的定义即可证明．