Question

已知，.
（1）求的解析式；
（2）解关于的方程
（3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）
（2）当时，方程无解
当时，解得
若，则
若，则
（3）

解析试题分析：
(1)利用换元法求解函数的解析式,设,则,代入即得解析式
(2)依题意将方程中化简得,然后分和分别求解,
(3)对任意总有成立，等价于当时，,然后分的取值来讨论.
试题解析：解：（1）令即，则
即
(2)由化简得：即
当时，方程无解
当时，解得
若，则
若，则
（3）对任意总有成立，等价于
当时，

令则
令
①当时，单调递增，
此时，
即（舍）
②当时,单调递增
此时，
即
③当时，
在上单调递减，在上单调递增
且

即
，综上:
考点：本题考查指数函数的性质及闭区间上的最值问题，考查了恒成立问题转化为求函数最值及分类讨论.