Question

11．设数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和R_n；
（3）若c_n=a_n•b_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式可得b_n；
（2）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出a_n；
（3）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2b_n-2，∴b₁=2b₁-2，解得b₁=2．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2），化为b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，公比与首项都为2，
∴b_n=2ⁿ．
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₅=14，a₇=20．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=14}\\{{a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=3，
∴数列{a_n}的前n项和R_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×3$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{1}{2}n$．
（3）a_n=2+3（n-1）=3n-1．
c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）•2ⁿ．
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）•2ⁿ+（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=4+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）•2ⁿ⁺¹=$3×\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（3n-1）•2ⁿ⁺¹=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8，
∴T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．