有下列说法:①函数f(x)=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$为奇函数,②若$\frac{cosx}{1-sinx}$=$\frac{1}{2}$.则$\frac{cosx}{1+sinx}$=2,③定义在R上的函数f.当x∈[3.5]时.f＞f, ④已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2ax.x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．有下列说法：
①函数f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$为奇函数；
②若$\frac{cosx}{1-sinx}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{cosx}{1+sinx}$=2；
③定义在R上的函数f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，则f（cos3）＞f（sin3）；
④已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2ax，x≤1}\\{ax+1，x＞1}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则实数a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．
其中正确说法有①②④（写出所有正确说法的序号）

分析对四个命题分别进行判断，①利用奇函数的定义；②利用同角三角函数的关系；③确定当-1≤x≤1时，x+4∈[3，5]，f（x）=f（x+4）=2-|x|；④分类讨论，即可得出结论．

解答解：①函数的定义域为{x|-2≤x≤2且x≠0}，f（x）=$\frac{\sqrt{{4-x}^{2}}}{x}$为奇函数，正确；
②若$\frac{cosx}{1-sinx}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{cosx}{1+sinx}$=2，正确；
③∵f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为2的周期函数，又当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，
∴当-1≤x≤1时，x+4∈[3，5]，∴f（x）=f（x+4）=2-|x|，则f（sin3）=2-sin3＞2-（-cos3）=f（cos3），错误；
④若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则说明f（x）在R上不单调．
①当a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤1}\\{1，x＞1}\end{array}\right.$满足题意
其图象如图所示，满足题意

②当a＜0时，函数y=-x²+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意

③当a＞0时，函数y=-x²+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，
要使得f（x）在R上不单调
则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{-1+2a＞a+1}\end{array}\right.$．
∴0＜a＜1或a＞2，
综合得：a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞），故正确．
故答案为：①②④．