题目内容
【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C的离心率为,且椭圆C过点
.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)若直线l:与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以
为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析;定点坐标为
【解析】
(1) 由题意结合离心率首先确定的关系,然后结合椭圆经过的点即可确定椭圆方程;
(2) 把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用以
为直径的圆过椭圆的右顶点D,可得
,即可得出
与
的关系,从而得出答案.
解:(1)由题意设椭圆的标准方程为(
),
,椭圆C过点
,
,解得
∴椭圆的标准方程为.
(2)设,
,直线
代入椭圆方程得
得,
,即
,则
,
.
又,
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点
,
∴,即
,∴
,
∴,∴
.
解得,
,且均满足
,
当时,l的方程为
,直线过定点
,与已知矛盾;
当时,l的方程为
,直线过定点
.
所以,直线l过定点,定点坐标为.
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