题目内容

(09年海淀区期末理)(14分)

  如果正数数列满足:对任意的正数M,都存在正整数则称数列是一个无界正数列。

(I)若分别判断数列是否为无界正数列,并说明理由;

(II)若成立。

(III)若数列是单调递增的无界正数列,求证:存在正整数m,使得

       

解析:(I)不是无界正数列,理由如下:…………1分

       取M=5,显然…………2分

       是无界正数列,理由如下:…………3分

       对任意的正数M,取

       所以是无界正数列…………4分,

   (II)存在满足题意的正整数k,理由如下:

       当时,

       因为

      

       读取成立。…………9分

       注:k取大于或等于3的整数即可。

   (III)证明:因为数列是单调递增的正数列,

       所以

      

       即

       因为是无界正数列,取,由定义知存在正整数

       所以

       由定义可知是无穷数列,考察数列显然这仍是一个单调递增的无界正数列,同上理由可知存在正整数,使得

   

重复上述操作,直到确定相应的正整数

       则

      

       即存在正整数成立。……14分

       说 明:其他正确解法按相应步骤给分。

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