题目内容
(09年海淀区期末理)(14分)
如果正数数列满足:对任意的正数M,都存在正整数
则称数列
是一个无界正数列。
(I)若分别判断数列
、
是否为无界正数列,并说明理由;
(II)若成立。
(III)若数列是单调递增的无界正数列,求证:存在正整数m,使得
解析:(I)不是无界正数列,理由如下:…………1分
取M=5,显然…………2分
是无界正数列,理由如下:…………3分
对任意的正数M,取
所以是无界正数列…………4分,
(II)存在满足题意的正整数k,理由如下:
当时,
因为
读取成立。…………9分
注:k取大于或等于3的整数即可。
(III)证明:因为数列是单调递增的正数列,
所以
即
因为是无界正数列,取
,由定义知存在正整数
所以
由定义可知是无穷数列,考察数列
显然这仍是一个单调递增的无界正数列,同上理由可知存在正整数
,使得
重复上述操作,直到确定相应的正整数
则
即存在正整数成立。……14分
说 明:其他正确解法按相应步骤给分。

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