题目内容
【题目】若函数对任意的,均有,则称函数具有性质.
(1)判断下面两个函数是否具有性质,并说明理由.①;②.
(2)若函数具有性质,且,求证:对任意有;
(3)在(2)的条件下,是否对任意均有.若成立给出证明,若不成立给出反例.
【答案】(1)①具有性质;②不具有性质,见解析;(2)见解析(3)不成立,见解析
【解析】
(1)①根据已知中函数的解析式,结合指数的运算性质,计算出的表达式,进而根据基本不等式,判断其符号即可得到结论;②由,举出当时,不满足,即可得到结论;
(2)由于本题是任意性的证明,从下面证明比较困难,故可以采用反证法进行证明,即假设为中第一个大于0的值,由此推理得到矛盾,进而假设不成立,原命题为真;
(3)由(2)中的结论,我们可以举出反例,如,证明对任意均有不成立.
证明:(1)①函数具有性质,
,
因为,,
即,
此函数为具有性质;
②函数不具有性质,
例如,当时,
,,
所以,,
此函数不具有性质.
(2)假设为中第一个大于0的值,
则,
因为函数具有性质,
所以,对于任意,
均有,
所以,
所以,
与矛盾,
所以,对任意的有.
(3)不成立.
例如,
证明:当x为有理数时,,均为有理数,
,
当x为无理数时,,均为无理数,
所以,函数对任意的,
均有,
即函数具有性质.
而当且当x为无理数时,.
所以,在(2)的条件下,
“对任意均有”不成立.
如,,
等.
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