Question

已知函数f(x)＝x＋sin x.
(1)设P，Q是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．

Answer 1

（1）见解析   （2）(－∞，2]

解：(1)由题意，得f′(x)＝1＋cos x≥0.
所以函数f(x)＝x＋sin x在R上单调递增．
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，x₁≠x₂，
则>0，即k_PQ>0.
所以直线PQ的斜率大于0.
(2)当a≤0时，x∈，则f(x)＝x＋sin x≥0≥axcos x恒成立，所以a≤0；
当a>0时，令g(x)＝f(x)－axcos x＝x＋sin x－axcos x，
则g′(x)＝1＋cos x－a(cos x－xsin x)
＝1＋(1－a)cos x＋axsin x.
①当1－a≥0，即0<a≤1时，g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x>0，所以g(x)在上为单调增函数．
所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合题意．
所以0<a≤1；
②当1－a<0，即a>1时，
令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x，
于是h′(x)＝(2a－1)sin x＋axcos x.
因为a>1，所以2a－1>0，从而h′(x)≥0.
所以h(x)在上为单调增函数．
所以h(0)≤h(x)≤h，
即2－a≤h(x)≤a＋1，
即2－a≤g′(x)≤a＋1.
(ⅰ)当2－a≥0，即1<a≤2时，g′(x)≥0，所以g(x)在上为单调增函数．
于是g(x)≥g(0)＝0，符合题意．
所以1<a≤2；
(ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x₀∈，使得当x∈(0，x₀)时，有g′(x)<0，此时g(x)在(0，x₀)上为单调减函数，从而g(x)<g(0)＝0，不能使g(x)>0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．