Question

如图所示，过点M（-6，0）作圆C：x²+y²-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点．
（1）求线段AB的中点P的轨迹；
（2）在线段AB上取一点Q，使，求点Q的轨迹．

Answer 1

【答案】分析：（1）设中点P的坐标，建立关于点P的方程，从而确定轨迹方程．
（2）利用代入法求点点Q的轨迹．
解答：解：（1）圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=4，其圆心为C（3，2），半径为2．
又M∈{M|PC⊥MP，P在已知圆内}，
设P点坐标（x，y），则CP的斜率为，MP的斜率为，
所以，化简得x²+y²+3x-2y-18=0．
点C（3，2）应在轨迹上，而x=3时，y=2满足方程x²+y²+3x-2y-18=0，
所以点P的轨迹是圆x²+y²+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），直线AB的斜率为k，则有，
代入，有，
即，①
把y=k（x+6）代入x²+y²-6x-4y+9=0，得（k²+1）x²+2（6k²-2k-3）x+3（12k²-8k+3）=0，，②
②代入①并化简得，而，从而有9x+2y-27=0，所以点Q的轨迹是直线9x+2y-27=0的圆内部分．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，运算量较大，综合性较强．