题目内容
如图所示,过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点.(1)求线段AB的中点P的轨迹;
(2)在线段AB上取一点Q,使


【答案】分析:(1)设中点P的坐标,建立关于点P的方程,从而确定轨迹方程.
(2)利用代入法求点点Q的轨迹.
解答:解:(1)圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),半径为2.
又M∈{M|PC⊥MP,P在已知圆内},
设P点坐标(x,y),则CP的斜率为
,MP的斜率为
,
所以
,化简得x2+y2+3x-2y-18=0.
点C(3,2)应在轨迹上,而x=3时,y=2满足方程x2+y2+3x-2y-18=0,
所以点P的轨迹是圆x2+y2+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),直线AB的斜率为k,则有
,
代入
,有
,
即
,①
把y=k(x+6)代入x2+y2-6x-4y+9=0,得(k2+1)x2+2(6k2-2k-3)x+3(12k2-8k+3)=0,
,②
②代入①并化简得
,而
,从而有9x+2y-27=0,所以点Q的轨迹是直线9x+2y-27=0的圆内部分.
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,运算量较大,综合性较强.
(2)利用代入法求点点Q的轨迹.
解答:解:(1)圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),半径为2.
又M∈{M|PC⊥MP,P在已知圆内},
设P点坐标(x,y),则CP的斜率为


所以

点C(3,2)应在轨迹上,而x=3时,y=2满足方程x2+y2+3x-2y-18=0,
所以点P的轨迹是圆x2+y2+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),直线AB的斜率为k,则有

代入


即

把y=k(x+6)代入x2+y2-6x-4y+9=0,得(k2+1)x2+2(6k2-2k-3)x+3(12k2-8k+3)=0,

②代入①并化简得


点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,运算量较大,综合性较强.

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