Question

如图所示，过点P （0，-2）的直线l交抛物线y²=4x于A，B两点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意设直线l的方程，联立方程，利用韦达定理，利用平行四边形OAMB中，AB的中点为OM的中点，即可得到结论．

解答：解：设点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意设直线l的方程为y=kx-2（k≠0），
与抛物线方程联立，整理可得k²x²-4（k+1）x+4=0
∵直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，
∴△=32k+16＞0，∴k＞-

1

2

又x₁+x₂=

4(k+1)

k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=

4

k

∵平行四边形OAMB中，AB的中点为OM的中点
∴x₁+x₂=x=

4(k+1)

k2

，y₁+y₂=y=

4

k

消去k，可得（y+2）²=4（x+1）
∴k＞-

1

2

，y=

4

k

∴y＜-8或y＞0，
∴顶点M的轨迹方程为（y+2）²=4（x+1）（y＜-8或y＞0）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．