Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下命题：
①若a²+b²＞c²，则△ABC一定是锐角三角形；
②若b²=ac，则△ABC一定是等边三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，则△ABC一定是钝角三角形；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）≥1，则△ABC一定是等边三角形，
其中正确的命题是

③④

．

Answer 1

分析：逐个验证：①由条件仅能推出一个锐角显然不足以判为锐角三角形；
②可举反例说明其不正确；
③cosAcosBcosC＜0，可推cosA，cosB，cosC中必恰有一个为负值，即必有一个角为钝角；
④由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）≥1结合三角形内角的范围可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得答案．

解答：解：若a²+b²＞c²，由余弦定理可知cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，即角C为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①为假命题；
由b²=ac，不能推出△ABC一定是等边三角形，不妨取a=1，b=

2

，c=2，显然b²=ac成立，但△ABC不是等边三角形，故②假命题；
若cosAcosBcosC＜0，则cosA，cosB，cosC中必恰有一个为负值，即△ABC一定是钝角三角形，故③为真命题；
若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）≥1，则cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C，故④为真命题．
故答案为：③④

点评：本题为三角形知识的应用，正确利用正余弦定理和三角函数的知识是解决问题的关键，属基础题．