题目内容

如图，已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＝1的右焦点F，抛物线：x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x＝4上的射影依次为点D、K、E．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出λ1＋λ2的值，否则，说明理由；

(Ⅲ)连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点N．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)易知椭圆右焦点∴，

　　抛物线的焦点坐标

　　

　　

　　椭圆的方程　　3分

　　(Ⅱ)易知，且与轴交于，

　　设直线交椭圆于

　　由

　　∴

　　∴　　6分

　　又由

　　

　　同理

　　∴

　　∵

　　∴　　9分

　　所以，当m变化时，的值为定值　　10分

　　(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，∴

　　方法1)∵

　　当时，

　　

　　

　　∴点在直线上，

　　同理可证，点也在直线上；

　　∴当m变化时，与相交于定点　　14分

　　方法2)∵

　　

　　

　　

　　∴∴A、N、E三点共线，

　　同理可得B、N、D也三点共线；

　　∴当m变化时，AE与BD相交于定点　　14分


练习册系列答案
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精英家教网如图，已知直线l：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦点F，抛物线：x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点N(
5
2
，0)．
如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y2=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k1，k2．
（Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
（Ⅱ）试证明：k1+k2为定值．
如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a2上的射影依次为点D，K，E．
（1）若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．
（2012•乐山二模）如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L交y轴于点M，
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，当M变化时，求λ1+λ2的值．
如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a2上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理科生做）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；
否则说明理由．
（文科生做）若N(
a2+1
2
，0)为x轴上一点，求证：
AN
=λ
NE
．

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