题目内容
【题目】(12分)
在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
【答案】(1)不会;(2)详见解析
【解析】(1)设,则
是方程
的根,
所以,
则,
所以不会能否出现AC⊥BC的情况。
(2)解法1:过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上,设圆心,则
,由
得
,化简得
,所以圆E的方程为
,
令得
,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为
,所以
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
解法2:设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,
由可知原点O在圆内,由相交弦定理可得
,
又,所以
,
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为,为定值.

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