题目内容
【题目】在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n .
(1)设bn= .证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:由an+1=2an+2n.两边同除以2n得
∴ ,即bn+1﹣bn=1
∴{bn}以1为首项,1为公差的等差数列
(2)解:由(1)得
∴an=n2n﹣1
Sn=20+2×21+3×22+…+n2n﹣1
2Sn=21+2×22+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n
∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n2n
=
∴Sn=(n﹣1)2n+1
【解析】(1)由an+1=2an+2n构造可得 即数列{bn}为等差数列(2)由(1)可求
=n,从而可得an=n2n﹣1 利用错位相减求数列{an}的和
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识,掌握如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么这个数列就叫做等差数列,以及对数列的前n项和的理解,了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
.
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