Question

【题目】如图，在几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；
（Ⅱ）求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．
∴A（0，0，0），B1（2，0，4），
C（4，4，0），D（0，4，0），D1（0，2，4），P（0，3，2），
=（2，0，4）， =（4，1，﹣2），
=8+0﹣8=0，
∴AB1⊥PC．
（Ⅱ） =（4，0，0）， =（0，﹣1，2），| |= ，DC⊥DP，
| |=| |= =6，| |= =2 ，| |= ，
C到直线DD1的距离d=| | =4
几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积：
+ + +
= + + + +
=42+6 +2 ．
【解析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1⊥PC．（Ⅱ）几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积： + + + ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．