题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程
，解出
的值,（2）求点
的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即
，二是的中点在直线上，即
.注意到在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点
的坐标，算出
为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线： 
上，所以可设
，
．选择
作为参数，即用表示点的坐标.由
三点共线，解得
，同理解得
.从而有
，这里主要用到
代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示
为定值.
解析试题分析：（1）
,（2）
,（3）
.
试题解析：（1）由已知，得 解得
2分
所以椭圆的标准方程为． 3分
（2）设点
，则中点为
．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得
（舍），
，从而
． 5分
所以点的坐标为． 6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴
，整理，得． 8分
∵
三点共线，∴
，整理，得． 10分
∵点在椭圆上，∴，
．
从而
． 14分
所以
． 15分
∴为定值，定值为． 16分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
练习册系列答案
相关题目
是平面直角坐标系上的一个动点，点
到直线
的距离等于点
的距离的2倍．记动点
.
的直线
与曲线
两个不同点，若直线
，设直线
的斜率分别为
，求
的数值；
，与以动点
为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．
上的任意一点
到该抛物线焦点的距离比该点到
轴的距离多1．
的值；
（2，0）且互相垂直的两条直线
、
分别与该抛物线分别交于
、
、
、
四点．
面积的最小值；
、
的中点分别为
、
两点，试问：直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
的焦点在
轴上，离心率为
，对称轴为坐标轴，且经过点
．
的方程；
与椭圆
相交于
、
两点， 
为原点，在
、
点的点
、
，使得
在以
为直径的圆外，求直线斜率
的取值范围．
，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
为坐标原点，点
、
分别在椭圆
，求直线
的方程.
＝3
，四边形APCB的面积最大值为
，求此时椭圆的方程和P点坐标．
＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切．
＝1；
，求椭圆E的方程；
·
＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．
＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
.
·
的取值范围；
＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且
＋5
＝0.