题目内容
【题目】已知点,
为椭圆
:
上异于点A,B的任意一点.
(Ⅰ)求证:直线、
的斜率之积为
-;
(Ⅱ)是否存在过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,使得
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设,并用其坐标表示斜率,通过斜率之积,结合点在椭圆上,化简可得直线
、
的斜率之积为
.
(Ⅱ)设点 取MN的中点H,则
,则|
可转化为
,联立直线与椭圆,结合韦达定理建立关于斜率k的方程,求解即可.
试题解析:(I)设点,
,则
,即
故得证.
(II)假设存在直线满足题意.
显然当直线斜率不存在时,直线与椭圆不相交.
①当直线的斜率
时,设直线
为:
联立,化简得:
由,解得
设点,
,则
取的中点
,则
,则
即 ,化简得
,无实数解,故舍去.
②当时,
为椭圆
的左右顶点,显然满足
,此时直线
的方程为
.
综上可知,存在直线满足题意,此时直线
的方程为
.
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