题目内容
【题目】已知椭圆C1:(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.
【答案】(1);(2):,: .
【解析】
(1)根据题意求出的方程,结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限,运用代入法求出点的纵坐标,根据,结合椭圆离心率的公式进行求解即可;
(2)由(1)可以得到椭圆的标准方程,确定椭圆的四个顶点坐标,再确定抛物线的准线方程,最后结合已知进行求解即可;
解:(1)因为椭圆的右焦点坐标为:,所以抛物线的方程为,其中.
不妨设在第一象限,因为椭圆的方程为:,
所以当时,有,因此的纵坐标分别为,;
又因为抛物线的方程为,所以当时,有,
所以的纵坐标分别为,,故,.
由得,即,解得(舍去),.
所以的离心率为.
(2)由(1)知,,故,所以的四个顶点坐标分别为,,,,的准线为.
由已知得,即.
所以的标准方程为,的标准方程为.
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