Question

设函数f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）．且函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值为

1-

3

．

Answer 1

分析：由不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）知：-1，3是方程f（x）=0的两根，由韦达定理便可解得a，b的值．求得f（x）的解析式，得知f（x）的开口方向以及对称轴，判断出f（x）在[m，1]上的单调性，然后由最小值等于1列方程，解得m的值．

解答：解：由条件得

-1+3=-  b-2 a -1×3= 3 a

解得：a=-1，b=4．
则f（x）=-x²+2x+3函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，
∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，
∴x=m时f（x）_min=-m²+2m+3=1
解得m=1±

3

．
∵m＜1，∴m=1-

3

．
故答案为 1-

3

点评：考查一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的单调性．