题目内容
【题目】已知数列中,已知
,
对任意
都成立,数列
的前n项和为
.
(1)若是等差数列,求k的值;
(2)若,
,求
;
(3)是否存在实数k,使数列是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项
,
,
按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
,
(3)存在实数k满足题意,
【解析】
(1)由等差数列可得,即
,进而得到
;
(2)将代回可得
,进而得到
,然后分
为奇数与偶数求得
即可;
(3)由等比数列可得,分别令
,
,
为等差中项求得
,进而求出
即可
解:(1)若是等差数列,则对任意
,
,即
,
所以,故
(2)当时,
,即
,
所以,故
,
所以,当n是偶数时,
,
当n是奇数时,,
,
综上,,
(3)存在,,
设是等比数列,则公比
,由题意
,
所以,
,
,
①若为等差中项,则
,即
,即
,
解得,不符合题意;
②若为等差中项,则
,即
,即
,
解得或
(舍),所以
;
③若为等差中项,则
,即
,即
,
解得或
(舍),所以
;
综上,存在实数k满足题意,
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