题目内容

10.如图所示,在多面体P-ABCD中,AB⊥AD,PA⊥平面ABD,PE⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAE;
(2)若PA=1,AD=AB=2,PE=$\frac{5}{3}$,求二面角B-PE-A的正切值.

分析 (1)由已知可证PA⊥BD,PE⊥BD.又PE∩PA=P,即可证明BD⊥平面PAE.
(2)取BD中点F,连接EF,AF,由已知及PE垂直于平面BDE,则可求角BEF就是所求二面角,由$\frac{1}{2}AB•AD•AP•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}BD•EF•PE•\frac{1}{3}$可求EF,从而可求tan∠BEF=$\frac{EF}{BF}$的值.

解答 解:(1)证明:∵PA⊥平面ABD,BD?平面ABD,∴PA⊥BD.
∵PE⊥平面BDE.BD?平面BDE,∴PE⊥BD.
又∵PE∩PA=P,
∴BD⊥平面PAE,
(2)如图,取BD中点F,连接EF,AF,
因为PE垂直于平面BDE,则角BEF就是所求二面角,
因为PA=1,AD=AB=2,PE=$\frac{5}{3}$,VP-ABD=VP-BDE,可得:$\frac{1}{2}AB•AD•AP•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}BD•EF•PE•\frac{1}{3}$,
故有:$\frac{1}{2}×2×2×1×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×EF×\frac{5}{3}×\frac{1}{3}$,解得:EF=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$,
所以可得:tan∠BEF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{5}$.

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,考查了空间想象能力和推论论证能力,属于中档题.

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