题目内容
【题目】已知定义在上的函数
是奇函数.
(1)求实数,
的值;
(2)判断的单调性,并用函数的单调性定义证明你的结论.
【答案】(1),
;(2)单调递减,证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由函数定义域为
且是奇函数,得到
对于任意
恒成立,列出方程,即可求解
的值;(2)由(1)可得函数
的解析式为
,
在定义域
上为单调减函数,根据函数的单调性的定义即可作差证明.
试题解析:(1)因为定义域为
且是奇函数,
故对于任意
恒成立,
即有对于任意
恒成立,
于是有解得
或
,
又的定义域为
,所以
,故所求实数
,
的值分别为
,
.
(2)由(1)可得函数的解析式为
,
在定义域
上为单调减函数.
用函数的单调性定义证明如下:
在定义域上任取两个自变量的值
,
,且
,
则,
∵,∴
,
又,
,故有
,即有
,
因此,根据函数单调性的定义可知,函数在定义域
上为减函数.
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