题目内容
【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)设两个极值点分别为,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)函数在其定义域内有两个不同的极值点等价于方程
在
有两个不同根,即函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点,讨论函数
单调性和极值根据图象即可求
的取值范围;(2)作差得,
,即
.原不等式
等价于
,
,则
,只需证明不等式
成立即可.
试题解析:(1)依题意,函数的定义域为
,所以方程
在
有两个不同根.
即,方程在
有两个不同根.
转化为,函数与函数
的图象在
上有两个不同交点.
又,即
时,
,
时,
,
所以在
上单调增,在
上单调减,从而
.
又有且只有一个零点是1,且在
时,
,在
时,
,
所以的草图如下,
可见,要想函数与函数
的图象在
上有两个不同交点,只需
.
(2)由(1)可知分别是方程
的两个根,即
,
,
设,作差得,
,即
.
原不等式等价于
令,则
,
,
设,
,
,
∴函数在
上单调递增,
∴,
即不等式成立,
故所证不等式成立.
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