Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的最大值为6，求常数的值；

（2）若函数有两个零点和，求的取值范围，并求和的值；

（3）在（1）的条件下，若，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) (2) , (3) 没有零点

【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出的范围，由正弦函数的最大值和条件列出方程，求出m的值；

（2）由x的范围求出z=的范围，函数在上有两个零点方程在上有两解，再转化为两个函数图象有两个交点，由正弦函数的图象列出不等式，求出m的范围，由正弦函数的图象和对称性求出x1与x2的和；

（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出当t≥2时（t﹣1）f（x）的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简，由x的范围、正切函数的性质求出范围，即可判断出函数g（x）的零点个数．

试题解析：

（1）由题意得，

，

，

∵，∴，则，

∴时，，

解得；

（2）令，∵，∴，

函数在上有两个零点方程在上有两解，

即函数与 在上有两个交点

由图象可知，解得

由图象可知，∴

解得；

（3）在（1）的条件下，，

且，则，

当时，（当且时取等号），

，

∵，∴，

（当时取等号），

所以当时，函数有一个零点，

当时，恒成立，

函数没有零点