题目内容
【题目】已知函数,
,且曲线
与
在
处有相同的切线.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求证:在
上恒成立;
(Ⅲ)当时,求方程
在区间
内实根的个数.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)2.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)函数有相同的切线,则,
,据此计算可得
;
(Ⅱ)构造函数,令,原问题等价于
在
上恒成立,讨论函数的单调性可得
,即
在
上恒成立.
(Ⅲ)构造函数,其中
,结合导函数讨论函数的单调性有
.构造函数
,则
在
内单调递减,
,据此讨论可得
在区间
内有两个零点,即方程
在区间
内实根的个数为2.
试题解析:
(Ⅰ)∵,
,
,
∴.
∵,
,
∴,
.
∵,即
,
∴.
(Ⅱ)证明:设,
.
令,则有
.
当变化时,
的变化情况如下表:
∴,即
在
上恒成立.
(Ⅲ)设,其中
,
.
令,则有
.
当变化时,
的变化情况如下表:
∴
.
,
设,其中
,则
,
∴在
内单调递减,
,
∴,故
,而
.
结合函数的图象,可知
在区间
内有两个零点,
∴方程在区间
内实根的个数为2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目