题目内容
下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面.
(1)请画出四棱锥S-ABCD的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由;
(2)若SA⊥面ABCD,求证:平面SAC⊥平面SBD,并求点A到平面SBD的距离.
分析:(1)由 SA⊥AB,SA⊥AD 可得,存在一条侧棱SA垂直于底面.
(2)证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD,由面面垂直的性质定理,由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线,构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离.
(2)证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD,由面面垂直的性质定理,由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线,构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离.
解答:
解:(1)存在一条侧棱SA⊥平面ABCD,如图所示.
∵在△SAB中,SA⊥AB,在△SAD中,SA⊥AD
又∵AB∩AD=A,∴SA⊥平面ABCD.
(2)
?BD⊥SA
又BD⊥AC,AC∩SA=A
由线面垂直的判定定理,
BD⊥面SAC,又BD?面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD
设O为底面中心,则 平面SAC∩平面SBD=SO
过A作AH⊥SO,垂足为H,由面面垂直的性质定理,AH⊥面SBD,
所以AH即为所求,在直角三角形SAO中,SO2=SA2+AO2= a2+(
) =
a2
SA×AO=SO×AH,∴AH=
=


∵在△SAB中,SA⊥AB,在△SAD中,SA⊥AD
又∵AB∩AD=A,∴SA⊥平面ABCD.
(2)
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又BD⊥AC,AC∩SA=A
由线面垂直的判定定理,
BD⊥面SAC,又BD?面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD
设O为底面中心,则 平面SAC∩平面SBD=SO

过A作AH⊥SO,垂足为H,由面面垂直的性质定理,AH⊥面SBD,
所以AH即为所求,在直角三角形SAO中,SO2=SA2+AO2= a2+(
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2 |
3 |
2 |
SA×AO=SO×AH,∴AH=
a×
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点评:本题考查线面垂直、面面垂直定义,判定,性质.以及空间距离的求解.平面问题与空间问题相互转化的思想方法,考查计算能力.

练习册系列答案
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下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。
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(1)请画出四棱锥S-ABCD的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由;
(2)若SA面ABCD,E为AB中点,求二面角E-SC-D的大小;
(3)求点D到面SEC的距离。