Question

【题目】在即将进入休渔期时，某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积产品的净利润f(x)万元与投入x万元之间近似满足函数关系：，若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．

(1)试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；

(2)请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围，若不亏本，请说明理由．(参考数据：ln 2≈0.7，ln 15≈2.7)

Answer 1

【答案】（1）8；（2）

【解析】

（1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=-4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值；
（2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围．

(1)由题意可知，当x＝2时，f(2)＝5.2，即有aln 2－×22＋×2＝5.2，解得a≈－4.则f(x)＝当2≤x≤15时，f′(x)＝－－x＋＝－.当2＜x＜8时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当8＜x＜15时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故当2≤x≤15时，f(x)max＝f(8)＝－4ln 8－16＋36≈11.6.当0＜x＜2时，f′(x)＝4x－2ln 2≈4x－1.4，令f′(x)＝0，得x＝0.35，当x∈(0，0.35)时，f′(x)<0，当x∈(0.35，2)时，f′(x)>0.所以易知f(x)＜2×4－(2ln 2)×2≈5.2.故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大．

(2)当0＜x＜2时，2x2－(2ln 2)x＜0，解得0＜x＜ln 2，即当0<x<ln 2时，该企业亏本；当2≤x≤15时，f(2)≈5.2，f(15)＝－4ln 15－×152＋×15≈0.45＞0，则f(x)min＝f(15)≈0.45＞0.综上可得，当0＜x＜ln 2，即0＜x＜0.7时，该企业亏本．