题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为
，设右焦点为
，过原点
的直线
与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
，线段
的中点为
，且
.
（1）求弦
的长；
（2）当直线
的斜率
，且直线
时， 
交椭圆于
，若点
在第一象限，求证：直线
与
轴围成一个等腰三角形.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】试题分析：（1）关键求点A坐标关系：设
，则根据条件表示
， 
，再根据向量数量积得
，即得
的长为
.（2）证直线
与
轴围成一个等腰三角形，就是证直线
的斜率相反.先确定A点坐标，并求出椭圆方程，再设
与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得
两点横坐标和与积的关系，代入直线
的斜率公式，并化简可证它们为相反关系.
试题解析：（1）因为椭圆
： 
的焦距为
，则
，
设
，则
， 
， 
，
，则
，所以
的长为
.
（2）因为直线
的斜率
时，且直线
，所以
，设
， 
，
∴由（1）知， 
，所以
，又半焦距为
，所以椭圆
，联解： 
得
，设
，则
， 
，
设直线
的斜率分别为
，则
， 
，那么
，
所以直线
与
轴围成一个等腰三角形.
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