题目内容
【题目】如图(1)所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点,现将△PDC折起,使平面PDC⊥平面ABCD(图(2)).
(1)求证:AP∥平面EFG;
(2)若点Q是线段PB的中点,求证:PC⊥平面ADQ;
(3)求三棱锥C-EFG的体积.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)由条件可得EF∥CD∥AB,利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB.同理可证,EG∥平面PAB,可得平面EFG∥平面PAB.再利用两个平面平行的性质可得AP∥平面EFG.(2)由条件可得DA、DP、DC互相垂直,故AD⊥平面PCD,AD⊥PC.再由EQ平行且等于BC可得EQ平行且等于
AD,故ADEQ为梯形.再根据DE为等腰直角三角形PCD 斜边上的中线,可得DE⊥PC.再利用直线和平面垂直的判定定理证得PC⊥平面ADQ.(3)根据VC-EFG=VG-CEF=
S△CEFCG=
(
EFDF)CG,运算求得结果
试题解析:(1)证明:∵E、F分别是PC,PD的中点,
∴EF∥CD∥AB.
又EF平面PAB,AB
平面PAB,∴EF∥平面PAB.
同理,EG∥平面PAB,∴平面EFG∥平面PAB.
又∵AP平面PAB,∴AP∥平面EFG.
(2)解:连接DE,EQ,
∵E、Q分别是PC、PB的中点,∴EQ∥BC∥AD.
∵平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,∴PD⊥平面ABCD.
∴PD⊥AD,又AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC,∴AD⊥PC.
在△PDC中,PD=CD,E是PC的中点,
∴DE⊥PC,∴PC⊥平面ADEQ,即PC⊥平面ADQ.
(3)VC-EFG=VG-CEF=S△CEF·GC=
×
×1=
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