题目内容

15、已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列xn是一个公差为2的等差数列,满足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则x2011的值等于
4003
分析:设x8=a,则x9=a+2,x10=a+4,x11=a+6,则f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,结合奇函数关于原点的对称性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0.所以f(a+3)=0=f(0),x8=-3.设数列{xn}通项xn=x1+(n-1).x8=x1+14=-3.x1=-17.通项xn=2n-19.由此能求出x2011的值.
解答:解:设x8=a,则x9=a+2,x10=a+4,x11=a+6,
∴f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,
且f(a)<f(a+2)<f(a+4)<f(a+6),
∴f(a)<0且f(a+6)>0.
结合奇函数关于原点的对称性可知,f(a)+f(a+6)=0,
f(a+2)+f(a+4)=0.
∴f(a+3)=0=f(0),
即a+3=0.
∴x8=-3.
设数列{xn}通项xn=x1+(n-1).
∴x8=x1+14=-3.
∴x1=-17.
∴通项xn=2n-19.
∴x2010=2×2011-19=4003.
故答案为:4003.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意递推公式的合理运用.
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