题目内容
已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,
=(1,
)是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D),求
•
的值;
(3)对于双曲线Γ:
-
=1(a>0,b>0,a≠b),E为它的右顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(M,N都不同于点E),且EM⊥EN,求证:直线MN与x轴的交点是一个定点.
d |
2 |
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D),求
DA |
DB |
(3)对于双曲线Γ:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)设双曲线C的方程为
-
=1(a>0,b>0),则a=1,
又
=
,得b=
,所以,双曲线C的方程为x2-
=1.
(2)当直线AB垂直于x轴时,其方程为x=-3,A,B的坐标为(-3,4)、(-3,-4),
=(-4,4),
=(-4,-4),所以
•
=0.
当直线AB不与x轴垂直时,设此直线方程为y=k(x+3),
由
得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,x1•x2=
,
故
•
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1=(k2+1)
+(3k2-1)
+9k2+1=0.
综上,
•
=0.
(3)证明:设直线MN的方程为:x=my+t,
由
,得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
,y1y2=
,分
由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0,(1+m2)
-m(t-a)
+(t-a)2=0,
化简得,t=
或t=a(舍),
所以,直线MN过定点(
,0).
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
又
b |
a |
2 |
2 |
y2 |
2 |
(2)当直线AB垂直于x轴时,其方程为x=-3,A,B的坐标为(-3,4)、(-3,-4),
DA |
DB |
DA |
DB |
当直线AB不与x轴垂直时,设此直线方程为y=k(x+3),
由
|
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
6k2 |
2-k2 |
-9k2-2 |
2-k2 |
故
DA |
DB |
-9k2-2 |
2-k2 |
6k2 |
2-k2 |
综上,
DA |
DB |
(3)证明:设直线MN的方程为:x=my+t,
由
|
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
-2b2mt |
b2m2-a2 |
b2(t2-a2) |
b2m2-a2 |
由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0,(1+m2)
b2(t2-a2) |
b2m2-a2 |
2b2mt |
b2m2-a2 |
化简得,t=
a(a2+b2) |
a2-b2 |
所以,直线MN过定点(
a(a2+b2) |
a2-b2 |
练习册系列答案
相关题目