题目内容

已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,
d
=(1,
2
)
是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D),求
DA
DB
的值;
(3)对于双曲线Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E为它的右顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(M,N都不同于点E),且EM⊥EN,求证:直线MN与x轴的交点是一个定点.
(1)设双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,则a=1,
b
a
=
2
,得b=
2
,所以,双曲线C的方程为x2-
y2
2
=1

(2)当直线AB垂直于x轴时,其方程为x=-3,A,B的坐标为(-3,4)、(-3,-4),
DA
=(-4,4),
DB
=(-4,-4)
,所以
DA
DB
=0.
当直线AB不与x轴垂直时,设此直线方程为y=k(x+3),
y=k(x+3)
2x2-y2=2
得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
6k2
2-k2
x1x2=
-9k2-2
2-k2

DA
DB
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)
=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1=(k2+1)
-9k2-2
2-k2
+(3k2-1)
6k2
2-k2
+9k2+1=0.
综上,
DA
DB
=0.
(3)证明:设直线MN的方程为:x=my+t,
x=my+t
b2x2-a2y2=a2b2
,得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
-2b2mt
b2m2-a2
y1y2=
b2(t2-a2)
b2m2-a2
,分
由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0
(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0(1+m2)
b2(t2-a2)
b2m2-a2
-m(t-a)
2b2mt
b2m2-a2
+(t-a)2=0

化简得,t=
a(a2+b2)
a2-b2
或t=a(舍),
所以,直线MN过定点(
a(a2+b2)
a2-b2
,0).
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网