题目内容

（理） 在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为(
5
，0)，
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线C上的点P，其中
op
=m
e1
+n
e2
（m，n∈R），则m，n满足的一个等式是
4mn=1
4mn=1
．
分析：根据
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)是渐进线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程，根据一个焦点坐标(
5
，0)，进而求得a和b，求得双曲线方程，进而根据
op
=m
e1
+n
e2
，P在双曲线上，化简即可．
解答：解：因为c=
5
，所以
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)是渐进线方向向量，
所以双曲线渐近线方程为y=±
1
2
x，
又c=
5
，a=2，b=1双曲线方程为
x2
4
-
y2
1
=1，
op
=m
e1
+n
e2
=（2m+2n，m-n），
点P是双曲线C上的点，
所以
(2m+n)2
4
-(m-n)2=1，化简得4mn=1．
故答案为：4mn=1．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了向量的综合应用，学生分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
（2008•杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C1的方程为
x2
9
-
y2
4
=1，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
（2）射线l的方程y=
2
2
x(x≥0)，如果椭圆C1：
x2
16
+
y2
4
=1经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且|AB|=
2
，求椭圆C2的方程；
（3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny），得抛物线Cn+1：y2=2pn+1x，…．若p1=1 ， λn=(
1
2
)n，求数列{pn}的通项公式pn．
（理）在平面直角坐标系xOy中，向量
j
=(0，1)，△OFQ的面积为2
3
，且
OF
•
FQ
=m，
OM
=
3
3
OQ
+
j
．
（Ⅰ）设4＜m＜4
3
，求向量
OF
与
FQ
的夹角的取值范围；
（II）设以O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|
OF
|=c，m=(
3
-1)c2．是否存在点Q，使|
OQ
|最短？若存在，求出此时椭圆的方程；若不存在，请说明理由．

（06年上海卷理）（14分）

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；
（3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny），得抛物线Cn+1：y2=2pn+1x，…．若，求数列{pn}的通项公式pn．

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