题目内容
已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（-2，0）是它的一个焦点，并且离心率为2
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x0，y0）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求
| MP |
| MQ |
分析：（I）设双曲线方程为
-
=1（a＞0，b＞0），依据题意，求出a、c、b的值，最后写出双曲线的标准方程和渐近线方程．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），根据向量的坐标运算写出
=(x0，y0-1)，
=(-x0，-y0-1)从而
•
=-x02-y02+1再结合双曲线的范围得出x02≥3，从而求得
•
的取值范围．
| x2 |
| a 2 |
| y2 |
| b 2 |
（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），根据向量的坐标运算写出
| MP |
| MQ |
| MP |
| MQ |
| MP |
| MQ |
解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为
-
=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依题意得
解得a=
，b=1，
∴所求双曲线C的方程为
-y2=1．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），∴
=(x0，y0-1)，
=(-x0，-y0-1)
∴
•
=-x02-y02+1
，又
-y 02=1，
•
=-
+2，由
-y 02=1可得，x02≥3，
•
=-
+2≤-2故
•
的取值范围x≤-2．
| x2 |
| a 2 |
| y2 |
| b 2 |
依题意得
|
| 3 |
∴所求双曲线C的方程为
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），∴
| MP |
| MQ |
∴
| MP |
| MQ |
，又
| x 02 |
| 3 |
| MP |
| MQ |
| 4 |
| 3 |
| x | 2 0 |
| x 02 |
| 3 |
| MP |
| MQ |
| 4 |
| 3 |
| x | 2 0 |
| MP |
| MQ |
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．
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