题目内容

t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10-t，0）．
问：（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；
（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
①求证：顶点C一定在直线y= $数学公式$ x上．
②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．

解：（1）令过P、Q方程 $\text{[math]}$
tx-2（t-5）y+t²-10t=0，
假设M过PQ，
则t²-6t+10=0，△=36-40＜0，无实根，故M不过直线PQ．
若假设N过直线PQ，
同理得：t²-16t+50=0，t₁=8- $\text{[math]}$ ，t₂=8+ $\text{[math]}$ （舍去）
∵t∈（0，10），当t=8- $\text{[math]}$ 时，直线PQ过点N（4，5）
（2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．
①点C（2a，a），即 $\text{[math]}$ ，
消去a得y= $\text{[math]}$ x，
故顶点C在直线y= $\text{[math]}$ x上．
②令阴影面积为S，则s= $\text{[math]}$ |10-t|-|t|-a²
∵t＞0，10-t＞0，S= $\text{[math]}$ （-t²+10t）-a²
∵点C（2a，a）在直线PQ上，
∴2at-2（t-5）a=-t²+10t
∴a= $\text{[math]}$ （10t-t²），
S= $\text{[math]}$ ×10a-a²=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴当a= $\text{[math]}$ 时，S_max= $\text{[math]}$ ，
此时顶点A、B、C、D的坐标为A（ $\text{[math]}$ ，0）
，B（5，0），C（5， $\text{[math]}$ ），D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：对于（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．
对于（2）的①找出点C的坐标看是否适合直线y= $\text{[math]}$ x．对于（2）的②阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．
点评：转化思想是我们高中常考的一种解题思想，常用于正面不好求，但转化后好求的题中．