Question

t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10-t，0）．
（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；
（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
①求证：顶点C一定在直线y=

1

2

x上．
②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．

Answer 1

分析：对于（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．
对于（2）的①找出点C的坐标看是否适合直线y=

1

2

x．对于（2）的②阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．

解答：解：（1）令过P、Q方程

y-0

x-0

=

x-(10-t)

t-(10-t)

tx-2（t-5）y+t²-10t=0，
假设M过PQ，
则t²-6t+10=0，△=36-40＜0，无实根，故M不过直线PQ．
若假设N过直线PQ，
同理得：t²-16t+50=0，t₁=8-

14

，t₂=8+

14

（舍去）
∵t∈（0，10），当t=8-

14

时，直线PQ过点N（4，5）
（2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．
①点C（2a，a），即

x=2a y=a

，
消去a得y=

1

2

x，
故顶点C在直线y=

1

2

x上．
②令阴影面积为S，则s=

1

2

|10-t|-|t|-a²
∵t＞0，10-t＞0，S=

1

2

（-t²+10t）-a²
∵点C（2a，a）在直线PQ上，
∴2at-2（t-5）a=-t²+10t
∴a=

1

10

（10t-t²），
S=

1

2

×10a-a²=-(a-

5

2

)2+

25

4

∴当a=

5

2

时，S_max=

25

4

，
此时顶点A、B、C、D的坐标为A（

5

2

，0）
，B（5，0），C（5，

5

2

），D（

5

2

，

5

2

）

点评：转化思想是我们高中常考的一种解题思想，常用于正面不好求，但转化后好求的题中．