Question

已知圆x²＋y²－6mx－2(m－1)y＋10m²－2m－24＝0(m∈R)．

(1)求证不论m为何值，圆心在同一直线l上．

(2)求与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？

(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线中被圆截得的弦长相等．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将圆的方程化为：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为C(x，y)， 　　则 　　消去m得l：x－3y－3＝0． 　　∴不论m为何值，圆心在同一直线l：x－3y－3＝0上． 　　(2)设与l平行的直线是l：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l的距离为 　　d＝． 　　∵圆的半径r＝5， 　　∴当d＜r时，即－3＜b＜－3，直线与l相交； 　　当b＝±－3时，直线与圆相切；当d＞r时，即b＜－3或b＞－3时，直线与圆相离． 　　(3)对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由圆心到直线l的距离d＝，从而弦长等于与m无关，故结论成立．

提示：

通过消参数m得出直线l的方程，利用几何关系寻找相交、相切、相离的直线．