题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,
,
是曲线段
:
(
是参数,
)的左、右端点,
是
上异于
,
的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
.
(1)建立适当的极坐标系,写出点轨迹的极坐标方程;
(2)求的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据的参数方程可得直角坐标方程
,求出端点
,
,求在
处的切线斜率为和与
轴的交点坐标,由垂直关系得
的轨迹是以线段
为直径的
圆弧(不含端点),由此建立极坐标系,得出极坐标方程.
(2)设直线与以
为圆心,
为半径的圆交于两点
,
,则根据半径相等,由相交弦定理,得
,代入
,即可得出最大值.
解:(1)如图,曲线段即为抛物线上一段
,
端点,
,
在处的切线斜率为
,与
轴的交点坐标为
.
因为,所以
的轨迹是以线段
为直径的
圆弧(不含端点),
以线段的中点
为极点,射线
为极轴,建立极坐标系,
则点轨迹的极坐标方程为
.
(2)设直线与以
为圆心,
为半径的圆交于两点
,
,
则,
由相交弦定理,得
,
当,即
时,
最大,最大值为
.
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