Question

（2009•奉贤区一模）首项为正数的数列{a_n}满足an+1=

an2+3

4

，(n∈N*)．
（1）当{a_n}是常数列时，求a₁的值；
（2）用数学归纳法证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（3）若对一切n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围；
（4）以上（1）（2）（3）三个问题是从数列{a_n}的某一个角度去进行研究的，请你类似地提出一个与数列{a_n}相关的数学真命题，并加以推理论证．

Answer 1

分析：（1）根据常数数列建立a_n=a_n+1，求出a_n即可；
（2）n=1，2时由已知得a₁是奇数，假设n=k时a_k是奇数，不妨设a_k=2m-1是奇数，再证a_k+1是奇数，根据数学归纳法得结论；
（3）证明充要条件需证明两方面，一证充分性、二证必要性，根据an+1-an=

1

4

(an-1)(an-3)知，a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3，可求出a₁的取值范围，再证明即可；
（4）此题是开放题，答案不唯一，若对一切n∈N^*，{a_n}是等差数列，求a₁的取值范围．设公差d，则根据前几项进行求解即可．

解答：解：（1）an=an+1=

an2+3

4

，an=1，或an=3，∴a₁=1，或a₁=3（（3分），一解2分）
（2）证明：易证n=1，2时由已知得a₁是奇数，
假设n=k时a_k是奇数，不妨设a_k=2m-1是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得ak+1=

ak2+3

4

=m(m-1)+1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n∈N₊，a_n都是奇数．（5分）
（3）由an+1-an=

1

4

(an-1)(an-3)知，a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．
得0＜a₁＜1或a₁＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，则0＜ak+1＜

1+3

4

=1；若a_k＞3，则ak+1＞

32+3

4

=3．
根据数学归纳法，0＜a₁＜1，?0＜a_n＜1，?n∈N₊；a₁＞3?a_n＞3，?n∈N₊．
综合所述，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．（5分）
（4）此题是开放题，答案不唯一
若对一切n∈N^*，{a_n}是等差数列，求a₁的取值范围．
设公差d，则

a2=a1+d，a2= a 2 1 +3 4 ⇒a1+d= a 2 1 +3 4 a3=a1+2d，a3= a 2 2 +3 4 ⇒a1+2d= (a1+d)2+3 4

⇒4d=2a₁d+d²
d=0时由（1）知常数列，a₁=1或a₁=3是等差数列（3分）
d=4-2a₁时，解出a1=

17

-2，d=8-2

17

，a2=6-

17

，a3=14-3

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∴a4=a3+d=22-5

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，a4=

a 2 3 +3

4

=88-21

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矛盾！不可能成等差数（2分）

点评：本题主要考查了数列递推式的应用，同时考查了等差数列的性质和开放题的应用，属于中档题．