题目内容
设f（x）为定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2014-x）．
（1）求证：g（x）+g（2014-x）是定值．
（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明．
（3）若g（x1）+g（x2）＞0，求证：x1+x2＞2014．
（1）求证：g（x）+g（2014-x）是定值．
（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明．
（3）若g（x1）+g（x2）＞0，求证：x1+x2＞2014．
分析：（1）由条件可得g（2014-x）=f（2014-x）-f（x），从而得到g（x）+g（2014-x）=0，为定值．
（2）任取实数x1＜x2，求得g（x1）-g（x2）=[f（x1）-f（x2）]+[f（2014-x2）-f（2014-x1）]．再由f（x）是R上的增函数，可得g（x1）-g（x2）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得 g（x1）+g（x2）=g（x1）-g（2014-x2）＞0，可得g（x1）＞g（2014-x2）．再根据g（x）在R上是单调递增函数，证得结论．
（2）任取实数x1＜x2，求得g（x1）-g（x2）=[f（x1）-f（x2）]+[f（2014-x2）-f（2014-x1）]．再由f（x）是R上的增函数，可得g（x1）-g（x2）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得 g（x1）+g（x2）=g（x1）-g（2014-x2）＞0，可得g（x1）＞g（2014-x2）．再根据g（x）在R上是单调递增函数，证得结论．
解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2014-x），∴g（2014-x）=f（2014-x）-f（x），
故 g（x）+g（2014-x）=0，为定值．
（2）任取实数x1＜x2，则g（x1）-g（x2）=f（x1）-f（2014-x1）-f（x2）+f（2014-x2）=[f（x1）-f（x2）]+[f（2014-x2）-f（2014-x1）]．
由题设可得2014-x2＜2014-x1，又f（x）是R上的增函数，故f（x1）＜f（x2），f（2014-x2）＜f（2014-x1），
即g（x1）-g（x2）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得g（x2）=-g（2014-x2），
∴g（x1）+g（x2）=g（x1）-g（2014-x2）＞0，
∴g（x1）＞g（2014-x2），又g（x）在R上是单调递增函数，
∴x1＞2014-x2，即 x1+x2＞2014．
故 g（x）+g（2014-x）=0，为定值．
（2）任取实数x1＜x2，则g（x1）-g（x2）=f（x1）-f（2014-x1）-f（x2）+f（2014-x2）=[f（x1）-f（x2）]+[f（2014-x2）-f（2014-x1）]．
由题设可得2014-x2＜2014-x1，又f（x）是R上的增函数，故f（x1）＜f（x2），f（2014-x2）＜f（2014-x1），
即g（x1）-g（x2）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得g（x2）=-g（2014-x2），
∴g（x1）+g（x2）=g（x1）-g（2014-x2）＞0，
∴g（x1）＞g（2014-x2），又g（x）在R上是单调递增函数，
∴x1＞2014-x2，即 x1+x2＞2014．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的性质，属于中档题．
练习册系列答案
考前必练系列答案
相关题目
设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象时顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分