Question

设f（x）为定义在R上的函数，对于任意的实数x满足f（x+2）=f（x），且在区间[-1，1]上有f(x)=

ax+2，(-1≤x≤0) logax，(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），则f(

5

2

)=

-1

．

Answer 1

分析：由任意的实数x满足f（x+2）=f（x），可得函数的周期为2，由区间[-1，1]上有f(x)=

ax+2(-1≤x≤0) logax(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），根据f（-1）=f（1），构造关于a的方程，求出a值，进而根据f(

5

2

)=f（

1

2

）得到答案．

解答：解：∵对于任意的实数x满足f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为2的周期函数
则f(

5

2

)=f（

1

2

+2）=f（

1

2

）
又∵在区间[-1，1]上有f(x)=

ax+2(-1≤x≤0) logax(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），
由f（-1）=f（1）得：-a+2=log_a1=0
解得a=2
故f（

1

2

）=log2

1

2

=-1
故答案为：-1

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的解析式，函数的值，其中分析出函数的周期后，由f（-1）=f（1），构造关于a的方程，求出a值，是解答的关键．