Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求角A的值；
（2）在（1）的结论下，若0≤x≤

π

2

，求y=cos²x+sinA•sin2x的最值．

Answer 1

（1）（b+c）²-a²=b²+2bc+c²-a²=3bc，2bccosA=bc，
所以cosA=

1

2

，A=

π

3

（7分）
（2）y=

1+cos2x

2

+sinAsin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

1

2

+sin(2x+

π

6

)（10分）
因为0≤x≤

π

2

，0≤2x≤π，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，（12分）
所以，0≤

1

2

+sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，
即ymin=0，ymax=

3

2

（14分）