题目内容
【题目】椭圆E: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1 , F2 .
(Ⅰ)若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,求椭圆E的离心率;
(Ⅱ)若椭圆E过点A(0,﹣2),直线AF1 , AF2与椭圆的另一个交点分别为点B,C,且△ABC的面积为 ,求椭圆E的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由长轴长、短轴长、焦距成等差数列,
则2b=a+c,则4b2=a2+2ac+c2 ,
由b2=a2﹣c2 , 则4(a2﹣c2)=a2+2ac+c2 ,
∴3a2﹣5c2﹣2ac=0,
两边同除以a2 , 5e2+2e﹣3=0,
由0<e<1,解得e= ,
(Ⅱ)由已知可得b=2,
把直线AF2:y= x﹣2,代入椭圆方程 ,
整理得:(a2+c2)x2﹣2a2cx=0,
∴x= = ,
∴C( ,y),
由椭圆的对称性及平面几何知识可知,△ABC的面积为S= ×2x×(y+2)= = [ ]2 ,
∴ [ ]2= ,解得:c2=1,
a2=b2+c2=5,
故所求椭圆的方程为
【解析】(Ⅰ)由2b=a+c,由b2=a2﹣c2 , 利用离心率公式即可求得椭圆的离心率;(Ⅱ)把直线AF2:y= x﹣2,代入椭圆方程,求得C点坐标,利用三角形的面积公式,即可求得c的值,则a2=b2+c2=5,求得椭圆方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:).
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