题目内容
（2013•贵阳二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点（Ⅰ）求证：DE∥平面FGH；
（Ⅱ）若点P在直线GF上，
| GP |
| GF |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）欲证明DE∥平面FGH，先找直线与直线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行．因此，取AD得中点M，连接GM，可证出MG∥DE，结合线面平行的判定定理可得DE∥平面FGH；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到
、
的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，求出
=（5-2λ，
，2
）是平面BDP的一个法向量，结合
=（0，0，1）是平面ABP的一个法向量和二面角D-BP-A的大小为
，利用空间向量的夹角公式建立关于λ的方程，解之可得实数λ的值．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到
| BD |
| BP |
| m |
| 3 |
| 3 |
| n |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，
又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE
∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2
，-2，0），G（
，-1，0），F（
，1，0）
∴
=（0，2，0），
=（0，-4，2），
=（
，-5，0）．
由
=λ
=（0，2λ，0），可得
=
+
=（
，2λ-5，0）．
设平面PBD的法向量为
=（x，y，z），
则
，取y=
，得z=2
，x=5-2λ，
∴
=（5-2λ，
，2
），
又∵平面ABP的一个法向量为
=（0，0，1），
∴cos＜
，
＞=
=
=cos
=
，解之得λ=1或4
即λ的值等于1或4．
∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，
又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE
∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| GF |
| BD |
| BG |
| 3 |
由
| GP |
| GF |
| BP |
| BG |
| GP |
| 3 |
设平面PBD的法向量为
| m |
则
|
| 3 |
| 3 |
∴
| m |
| 3 |
| 3 |
又∵平面ABP的一个法向量为
| n |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
2
| ||
|
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
即λ的值等于1或4．
点评：本题在特殊四棱锥中证明线面平行，并求满足二面角D-BP-A的等于
的点P的位置．着重考查了线面平行的判定定理，利用空间坐标系研究二面角大小等知识点，属于中档题．
| π |
| 4 |
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