题目内容

在实数集R中定义一种运算“△”，且对任意a，b∈R，具有性质：
①a△b=b△a；   ②a△0=a；③（a△b）△c=c△（a•b）+（a△c）+（b△c）+c，则函数f(x)=|x|△
1|x|
的最小值为
 
．
分析：准确理解运算“△”的性质：①满足交换律，②a△0=a；③，（a△b）△c=c△（ab）+（a△c）+（b△c）+c，故有：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+1×0；代入可得答案．
解答：解：由性质知：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+c×0=ab+a+b
依照上面的计算求得f（x）=（|x|△
1
|x|
）△0=0△（|x|•
1
|x|
 ）+（|x|△0）+（
1
|x|
△0 ）+1×0=1+|x|+
1
|x|
≥3，
故答案为：3．
点评：由3个条件可得：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+c×0=ab+a+b是解题的关键，是解题的突破口，同时考查了运算能力．
练习册系列答案
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在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(2x)*
1
2x
的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
1
2
)，(
1
2
，+∞)．
其中所有正确说法的个数为（　　）
A、0B、1C、2D、3
在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(3x)*(
1
3x
)的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
1
3
)，(
1
3
，+∞)．
其中所有正确说法的序号为
③
③
．
（2013•内江二模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，对任意a，b⊕b为唯一确定的实数且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）对任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函数f(x)=x⊕
1x
，则下列命题中：
（1）函数f（x）的最小值为3；
（2）函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．
其中正确例题的序号有
（3）
（3）
．
（2013•内江二模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，对任意a，b∈R，a⊕b为唯一确定的实数且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）对任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函数f(x)=x2⊕
1x2
，则下列命题中：
（1）函数f（x）的最小值为3；
（2）函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）、（1，+∞）．
其中正确例题的序号有
（1）（3）
（1）（3）
．

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