Question

（2013•内江二模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，对任意a，b⊕b为唯一确定的实数且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）对任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函数f(x)=x⊕

1

x

，则下列命题中：
（1）函数f（x）的最小值为3；
（2）函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．
其中正确例题的序号有

（3）

．

Answer 1

分析：对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论，对f（x）的解析式进行化简，利用导数法分析出函数的单调性和最值，再利用函数奇偶性的定义分析出函数的奇偶性，可得答案．

解答：解：由新运算“⊕”的定义（3）令c=0，则a⊕b=ab+a+b
∴f(x)=x⊕

1

x

=1+x+

1

x

，
∴f′（x）=1-

1

x2

，令f′（x）=0
则x=±1，
∵当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．故（3）正确；
根据对勾函数的图象和性质，可得
在区间（-∞，-1）上，函数图象向下，向上无限延长
故函数f（x）无最小值，故（1）错误；
又∵f（-x）=1-x-

1

x

，与f（x）不相反，故函数f（x）不是奇函数，故（2）错误
故正确的序号有（3）
故答案为：（3）

点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．