题目内容
函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足以下两个条件:(1)在[m,n]上是单调函数;(2) 在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 (填上所有正确的序号)
①=x2(x≥0); ②=ex(x∈R);
③=;④=.
①=x2(x≥0); ②=ex(x∈R);
③=;④=.
①③④
试题分析:函数中存在“倍值区间”,则:(1)在内是单调函数;(2),或,①,若存在“倍值区间” ,则,∴,∴,∴,故存在“倍值区间” ;②,若存在“倍值区间” ,则,∴,构建函数,∴,∴函数在上单调减,在上单调增,∴函数在处取得极小值,且为最小值, ∵,∴无解,故函数不存在“倍值区间”;
③,,若存在“倍值区间” ,
则,∴,∴,故存在“倍值区间” ;④且,不妨设,则函数在定义域内为单调增函数,若存在“倍值区间” ,则,∴,则方程,即,由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间” ;综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④,故答案为:①③④.
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