题目内容

已知椭圆的长轴两端点分别为是椭圆上的动点,以为一边在轴下方作矩形,使于点于点

(Ⅰ)如图(1),若,且为椭圆上顶点时,的面积为12,点到直线的距离为,求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图(2),若,试证明:成等比数列.

(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)由的面积为12,点到直线的距离为,列出关于的方程求解;(Ⅱ)用坐标表示各点,然后求出的长,计算比较即可.
试题解析:(Ⅰ)如图1,当时,过点
的面积为12,,即.①               2分
此时直线方程为
∴点的距离. ②    4分
由①②解得.            6分
∴所求椭圆方程为.      7分
(Ⅱ)如图2,当时,,设
三点共线,及
(说明:也可通过求直线方程做)

,即.  9分
三点共线,及

,即.  11分
.            13分
.  15分
,即有成等比数列.                      16分
考点:椭圆的标准方程、点到直线的距离、等比数列.

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